Öklid
Öklid, yaklaşık MÖ 300’de İskenderiye’de çalıştığı kabul edilen Antik Yunan matematikçisidir. Elementler adlı eseriyle geometri ve sayılar kuramındaki bilgileri güçlü bir kanıt düzeni içinde bir araya getirdi. Yaşamının ayrıntıları ve kesin tarihleri bilinmese de eseri, matematik öğretimini ve akıl yürütme anlayışını yüzyıllarca etkiledi. İskenderiyeli Öklid olarak da anılır.
Öklid kimdir?
Öklid, yaklaşık MÖ 300 dolaylarında İskenderiye’de etkin olduğu kabul edilen Antik Yunan matematikçisidir. Adı en çok Elementler ile özdeşleşmiştir. Onu geometriyi tek başına icat eden kişi olarak görmek yerine, önceki matematik birikimini düzenli bir kanıt yapısı içinde birleştiren ve geliştiren önemli bir matematikçi olarak değerlendirmek gerekir.
Hayatı hakkında bildiklerimizin sınırları
Doğum yeri, ailesi, eğitiminin ayrıntıları ve kesin ölüm tarihi bilinmemektedir. Bazı kaynaklardaki yaklaşık MÖ 325–265 tarihleri, kesin yaşam kayıtları değildir. Hayatına ilişkin başlıca anlatılar kendisinden yüzyıllar sonra yaşamış yazarlardan gelir. Ayrıca matematikçi Öklid, daha önce yaşamış filozof Megaralı Öklid ile karıştırılmamalıdır.
İskenderiye ve Ptolemaios dönemi
Geç antik yazar Proklos, Öklid’i I. Ptolemaios dönemine yerleştirir. İskenderiye’de matematik öğrettiği yönündeki gelenek, hayatının temel çerçevesini oluşturur. Ancak kentin Kütüphane ve Mouseion kurumlarındaki resmî görevi hakkında kesin belgelere sahip değiliz. İskenderiye ile ilişkisini belirtmek, doğum yerinin de mutlaka burası olduğunu söylemek anlamına gelmez.
Önceki matematik geleneği
Öklid’in çalışmaları kendisinden önce gelişen Yunan matematiğinin üzerine kuruludur. Eudoksos’un oranlar kuramı ve Theaitetos’la ilişkilendirilen araştırmalar bu birikimin önemli parçalarıdır. Elementler’deki her sonucun ilk keşfini Öklid’e vermek doğru olmaz. Asıl etkisinin önemli bir kısmı, farklı sonuçları birbirine bağlı ve öğretilebilir bir bütün halinde sunmasından kaynaklanır.
Elementler’in on üç kitabı
Elementler, Yunanca Stoikheia adıyla bilinen ve on üç kitaptan oluşan bir matematik eseridir. İlk bölümler düzlem geometrisini, sonraki bölümler oranları, sayıları, ortak ölçüsü olmayan büyüklükleri ve uzay geometrisini ele alır. Bazı tarihî nüshalara eklenen XIV. ve XV. kitaplar, özgün on üç kitapla aynı aidiyete sahip değildir.
Tanımlar, postülalar ve ortak kavramlar
Eser, nokta ve doğru gibi terimlerin tanımlarıyla ve kanıtlarda kullanılacak başlangıç kabulleriyle ilerler. Postülalar geometrik işlemleri ve ilişkileri, ortak kavramlar ise daha genel akıl yürütme ilkelerini ifade eder. Amaç, her sonucu yalnızca bir şeklin görünüşüne dayandırmak yerine, kabul edilmiş başlangıçlardan ve önceki sonuçlardan hareketle gerekçelendirmektir.
Kanıt ve geometrik kurmalar
Elementler’de bir önermenin yalnızca doğru olduğunun söylenmesi yeterli değildir; neden doğru olduğunun gösterilmesi beklenir. Bazı önermeler bir şeklin nasıl kurulacağını, bazıları ise belirli ilişkilerin zorunlu olarak geçerli olduğunu açıklar. Çizimler kanıtın anlaşılmasına yardımcı olur, fakat çizimde ölçülen bir uzunluk kendi başına genel bir kanıtın yerini tutmaz.
Beşinci postüla ve paralellik
Beşinci postüla, bir doğru iki doğruyu kestiğinde belirli taraftaki iç açıların toplamı iki dik açıdan küçükse, uzatılan doğruların o tarafta karşılaşacağını söyler. Yüzyıllarca diğer kabullerden kanıtlanmaya çalışıldı. Öklid dışı geometrilerin gelişmesi, farklı paralellik kabulleriyle başka tutarlı geometrik yapıların incelenebileceğini gösterdi; bu durum Öklid geometrisini kendi koşulları içinde geçersiz kılmaz.
Üçgenler, çemberler ve Pisagor bağıntısı
İlk kitaplarda üçgenler, açılar, alanlar ve çemberlerle ilgili temel sonuçlar ele alınır. I. kitabın 47. önermesi, dik üçgenin hipotenüsü üzerine kurulan karenin alanının diğer iki kenar üzerine kurulan karelerin alanları toplamına eşit olduğunu gösterir. Bugünkü gösterimle a² + b² = c² ilişkisi, burada geometrik alanlar üzerinden kanıtlanır.
Oranlar ve benzerlik
V. kitap, yalnızca tam sayılarla ifade edilebilen durumlarla sınırlı olmayan genel bir oran anlayışı sunar. VI. kitapta bu çerçeve benzer şekillere ve geometrik uygulamalara bağlanır. Benzer şekillerin karşılık gelen açılarının eşitliği ve kenarlarının orantılılığı, farklı büyüklükteki şekiller arasında kesin ilişkiler kurmayı sağlar.
Geometrinin ötesinde sayılar kuramı
VII., VIII. ve IX. kitaplar sayılar, bölünebilme, oranlar ve asal sayılar gibi konulara ayrılır. Bu nedenle Elementler’i yalnızca şekiller üzerine bir kitap olarak tanımlamak eksiktir. Antik metnin sayı anlayışı ve gösterimleri günümüzdekilerden farklı olsa da burada ele alınan birçok problem, sayılar kuramının temel soruları arasında yer alır.
Öklid algoritması
VII. kitabın 2. önermesi, iki sayının en büyük ortak ölçüsünü bulmaya yönelik bir yöntem içerir. Günümüzde en büyük ortak bölen hesabında kullanılan Öklid algoritması bu gelenekle ilişkilidir. Yöntemin modern kalanlı bölme anlatımında, büyük sayı küçüğe bölünür; aynı işlem bölen ve kalanla sürdürülür. Sıfır olmayan son kalan, en büyük ortak böleni verir.
Asal sayıların sonsuzluğu
IX. kitabın 20. önermesi, asal sayıların verilen herhangi bir sonlu topluluktan daha fazla olduğunu gösterir. Modern anlatımda, seçilen asalların çarpımına bir eklenerek listede bulunmayan bir asal bölenin varlığına ulaşılır. Oluşturulan sayının mutlaka asal olması gerekmez. Kanıtın gücü, hangi sonlu liste seçilirse seçilsin onun dışında bir asal bulunabilmesidir.
Ortak ölçüsü olmayan büyüklükler
X. kitap, aynı birim uzunluğun tam katlarıyla birlikte ölçülemeyen doğru parçaları gibi ortak ölçüsü olmayan büyüklükleri ayrıntılı biçimde sınıflandırır. Bu konular modern irrasyonel sayılarla bağlantılıdır, fakat eserin kavramlarını bugünkü sayı sistemiyle bütünüyle özdeşleştirmemek gerekir. Geometrik büyüklükler üzerine kurulan dil, antik matematiğin kendine özgü yapısını yansıtır.
Uzay geometrisi ve düzgün çokyüzlüler
Son kitaplarda düzlemler, katı cisimler ve hacim ilişkileri incelenir. XIII. kitap düzgün çokyüzlülerin kuruluşlarına ve karşılaştırılmasına ulaşır. Dörtyüzlü, küp, sekizyüzlü, onikiyüzlü ve yirmiyüzlü bu düzenin tanınmış örnekleridir. Böylece Elementler, temel çizgi ve açı ilişkilerinden üç boyutlu yapılara uzanan geniş bir matematik yolu izler.
Diğer eserleri
Öklid’e bağlanan çalışmalar arasında Data, Optik ve göksel olayların geometrik incelemesiyle ilgili Phaenomena bulunur. Kayıp eserleri de sonraki yazarların aktarımlarından bilinmektedir. Bu metinler onun adının yalnızca temel geometriyle sınırlı olmadığını gösterir. Bununla birlikte her eserin korunma durumu ve aidiyet sorunu ayrı değerlendirilmelidir.
Yazmalar, çeviriler ve basım tarihi
Elementler, Yunanca yazmaların yanı sıra Arapça ve Latince çeviri ve yorum gelenekleriyle aktarıldı. 888’de Konstantinopolis’te kopyalanan D’Orville 301 yazması önemli bir tanıktır. İlk basılı baskısı 1482’de Venedik’te Erhard Ratdolt tarafından yayımlandı. Farklı dillerdeki baskılar, eserin çok geniş bir eğitim ve araştırma çevresine ulaşmasını sağladı.
Matematik tarihindeki mirası
Öklid’in mirası, yalnızca tek tek teoremler değil, bilgiyi birbirine bağlı gerekçelerle kurma idealidir. Elementler yüzyıllarca matematik eğitimine yön verdi; daha sonraki araştırmacılar metnin örtük kabullerini de tartıştı. Kendisine atfedilen krallara özgü kolay bir geometri yolu bulunmadığı hikâyesi ise çağdaş bir kayıt değildir. Kalıcı etkisini anlamak için bu tür anekdotlardan çok eserinin yapısına bakmak gerekir.